Makalah Kelompok: Materi METODE SECANT DAN PERSOALAN AKAR GANDA

 

METODE SECANT DAN PERSOALAN AKAR GANDA

Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Fisika Komputasi

Dosen Pengampu:

Winda Setya, S.Si., M.Sc.

Disusun oleh :

Kelompok 4

Nuniek Purwanti                     (1192070053)

Ridhan Azhar Nawaf Fasha    (1192070060)

Siti Samidah                            (1192070069)

Suci Zahrotunnisa                   (1192070071)

 

 

 

 

PRODI PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

2022

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur atas khadirat Allah Swt yang telah memberikan kita semua nikmat iman dan islam yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami penulis dapat menyelesaikan makalah kami yang berjudul “Metode Secant dan Persoalan Akar Ganda”.

Penulisan makalah ini bertujuan untuk menyelesaikan salah satu tugas pada mata kuliah Fisika Komputasi. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis sehingga dapat menyelesaikan tugas ini dengan baik. Terutama kepada dosen Fisika Komputasi yakni Ibu Winda Setya, S.Si., M.Sc. yang telah memberikan banyak arahan kepada kami selaku penulis. Kami penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak atas bantuan nya, baik secara langsung maupun secara tidak langsung.

Penulis menyadari bahwa dalam makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan. Kami selaku penulis memohon maaf apabila terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan dalam makalah yang kami buat. Penulis berharap para pembaca mendapat tambahan wawasan dan pengetahuan dari makalah yang kami buat.

Bandung, 28 Maret 2022

 

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISI ii

BAB I PENDAHULUAN 1

A. Latar Belakang. 1

B. Rumusan Masalah. 1

C. Tujuan Makalah. 1

BAB II PEMBAHASAN 2

A. Pengertian Metode Secant. 2

B. Pengaplikasian Metode Secant untuk Mencari Akar Ganda. 6

C. Perbedaan Metode Secant dengan Regula Falsi. 7

D. Fenomena Akar Ganda. 10

E. Kelebihan dan Kekurangan Metode Secant. 13

BAB III PENUTUP 15

Kesimpulan 15

DAFTAR PUSTAKA 16

 

 

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang.

Metode secant merupakan perbaikan dari metode newton Raphson, dalam metode secant menggunakan garis busur yang berguna untuk menghubungkan dua titik pada suatu kurva f(x). Oleh karena itu, kami akan mengulas secara lengkap mengenai metode secant dalam penyelesaian persamaan nonlinear.

Kelemahan dari metode Newton Raphson adalah evaluasi nilai turunan dari f(x), karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Suatu saat mungkin saja ditemukan suatu fungsi yang sukar dicari turunannya. Untuk menghindari hal tersebut diperkenalkan metode Secant. Metode Newton Rhapson memiliki perbedaan dengan metode Secant yaitu dalam menentukan turunan fungsi f(x). Metode Newton Raphson menekankan pada perhitungan turunan fungsi dengan cara analitik sedangkan, metode secant menekankan pada perhitungan dengan pendekatan numeric. Dengan demikian apabila menggunakan metode secant diharuskan untuk memperkirakan terlebih dahulu dua buah angka yang berbeda sebagai harga awal.

Rumusan Masalah.

Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut. 

Apa definisi dari metode secant? 

Bagaimana pengaplikasian metode secant dalam akar ganda? 

Apa saja dari perbedaan metode secant dan regulafalsi? 

Bagaimana fenomena terkait dengan akar ganda?

Bagaimana kelebihan dan kekurangan metode secant? 

Tujuan Makalah.

Adapun tujuan penulisan dari makalah ini yaitu untuk: 

Menjelaskan definisi terkait metode secant, menjelaskan pengaplikasian metode secant dalam akar ganda, menjelaskan perbedaan metode secant dan regulafalsi, menjelaskan fenomena terkait dengan akar ganda, dan menjelaskan kelebihan dan kekurangan metode secant.

 

BAB II

PEMBAHASAN

Pengertian Metode Secant

Proses pencarian akar persamaan-persamaan matematika sama halnya membuat persamaan itu menjadi nol, f(x)=0. Tidak semua persamaan yang ada bisa diselesaikan dengan mudah menggunakan teori matematika, apalagi jika persamaannya sangat kompleks. Salah satu pendekatan untuk mencari akar-akar persamaan tersebut dengan menggunakan pendekatan metode numerik. Persaman-persamaan matematika yang kompleks sering menggunakan metode numerik dalam mencari solusinya.

Akar suatu persamaan, tidak selamanya tunggal. Persamaan-persamaan matematika sering memiliki akar ganda. Pencari akar tunggal dengan beberapa metode numerik seperti metode Bisection, metode Newton-Raphson, metode Secant, metode regulaflasi, tidak mengalami kesulitan. Ada kelemahan dan kelebihan dari masing-masing metode dalam hal kecepatan konvergensi. Namun demikian tidak semua persamaan-persamaan matematika memiliki akar tunggal. Sering dijumpai persamaan-persamaan yang memiliki akar ganda, baik akar ganda genap maupun akar ganda yang jumlahnya ganjil. 

Metode numeric sulit menemukan akar dari persamaan-persamaan yang memiliki akar ganda. Jika digunakan kesulitan mencapai konvergensi dan malah tidak mendapatkan solusinya.  Sehingga salah satu cara dengan melakukan proses modifikasi metode Newton-Raphson dan metode Secant (Chapra S. , 2012). Hasil modifikasi kedua metode ini bisa mencari akar ganda dari persamaan-persamaan matematika yang memiliki akar ganda yang jumlahnya genap atau ganjil.  

Kelemahan dari metode Newton Raphson adalah evaluasi nilai turunan dari f(x), karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya, suatu saat mungkin saja ditemukan suatu fungsi yang sukar dicari turunannya. Untuk menghindari hal tersebut diperkenalkan metode Secant. Metode secant memerlukan 2 titik asal sebagai x awal yang dilakukan dengan cara menebak angka tersebut. Metode secant digolongkan kedalam metode terbuka (open method) yang artinya kurva yang akan dihasilkan berbentuk terbuka keatas. 

Adapun karakteristik metode secant,antara lain:

Hanya untuk general aplikasi 

Memerlukan 2 angka tebakan awal yang tidak mengurung atau mengapit akar.

Metode Secant merupakan metode yang mengatasi kelemahan   dari   metode   Newton-Raphson. Metode Newtoan-Raphson mensyaratkan untuk    mencari    nilai turunan pertama dari fungsi f(x) (Chapra S. C., 2008). Proses mencari nilai turunan membutuhkan waktu.  Selain itu, tidak semua persamaan mudah untuk mencari turunannya. Dalam mengatasi kesulitan ini, mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi, dengan menggunakan gradient garis yang melalui titik ((x_0,f(x_0 )) dan ((x_1,f(x_1 )).  Secara umum rumus metode Secant ditulis:

Prosedur metode secant: Tentukan dua titik awal, x_(i+1) dan x_1. Penentuan titik awal dilakukan sembarang. Setelah itu hitung menggunakan rumus persamaan (1) diatas. Pada iterasi selanjutnya titik yang diambil adalah  x_1 dan x_2 sebagai titik awal untuk menghitung x_3. Kemudian x_2 dan x_3 ditentukan sebagai titik awal untuk menghitung x_4. Dilakukan terus menerus sampai mencapai error yang cukup kecil.

Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear. Metode secant melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh dua titik. Kemudian nilai akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x. Berikut metode secant ditunjukan secara grafis. 

Gambar 1 :  Iterasi Metode Secant Secara Grafik

Ditentukan titik C(xi,f(xi)) dan B(xi-1,f(xi-1)) sehingga diperoleh garis secant yang memotong kurva dan memotong sumbu x di xi+1 . Titik potong garis secant dengan sumbu x ini merupakan nilai akar selanjutnya. Kemudian kita akan mencari nilai akar tersebut dengan menggunakan perbandingan segitiga yang sebangun.

Perhatikan segitiga BAE dan segitiga CDE pada gambar 1. Kedua segitiga tersebut adalah sebangun, sehingga dapat kita tuliskan perbandingannya yaitu:

 

Diketahui bahwa koordinat dari masing-masing titik tersebut yaitu:

Tabel 1. Koordinat dari titik pada gambar 1

Titik Koordinat

A (x_(i-1),0)

B (x_(i-1),f(x_(i-1) ))

C (x_i,f(x_i ))

D (x_i,0)

E (x_(i+1),0)

Kemudian dari persamaan diatas diperoleh:

(f(x_(i-1) )-0)/(x_(i-1)-x_(i+1) )=(f(x_i )-0)/(x_i-x_(i+1) )

f(x_(i-1) )(x_i-x_(i+1) )=f(x_i )(x_i-x_(i+1) )

f(x_(i-1) )(x_i )- f(x_(i-1) )(x_(i+1) )=f(x_i )(x_(i-1) )-f(x_i )(x_(i+1) )

f(x_i )(x_(i+1) )-f(x_(i-1) )(x_(i-1) )= f(x_i )(x_(i-1) )-f(x_(i-1) )(x_i )

(x_(i+1) )(f(x_i ))-f(x_(i-1) )=f(x_i )(x_(i+1) )-(x_(i+1) )(x_i )

(x_(i-1) )= (f(x_i )(x_(i-1) )-f(x_(i-1) )(x_i ))/(f(x_i )-f(x_(i-1) ) )

(x_(i-1) )=(f(x_i )(x_(i-1) )-f(x_(i-1) )(x_i )+(x_i )f(x_i )-(x_i )f(x_i ))/(f(x_i )-f(x_(i-1) ) )

(x_(i-1) )=((x_i )f(x_i )-f(x_(i-1) )(x_i )-(x_i )f(x_i )+f(x_i )(x_(i-1) ))/(f(x_i )-f(x_(i-1) ) )

(x_(i-1) )=(x_i ){f(x_i )-├ f(x_(i-1) )}-f(x_i ){(x_i )-┤ ├ (x_(i-1) )}┤/(f(x_i )-f(x_(i-1) ) )

(x_(i-1) )=(x_i ){f(x_i )-├ f(x_(i-1) )}┤/(f(x_i )-f(x_(i-1) ) )-f(x_i ){(x_i )-┤ ├ (x_(i-1) )}/(f(x_i )-f(x_(i-1) ) )

Sehingga diperoleh rumus umum metode secant yaitu:

x_(i-1)=x_i-(f(x_i )-(x_i-x_(i-1) ))/(f(x_i )-f(x_(i-1) ) )

Metode Secant ini hampir sama dengan metode Newton-Raphson, namun pada metode ini kita harus membuat dua batas sebagai nilai awal dan nilai akhir seperti pada metode bisection, dapat ditulis sebagai berikut :

Dengan metode interpolasi kita dapatkan :

c=b-f_((b))/(f_((b))-f_((a)) )

karena

f_((b))/(b-c)=f_((a))/(c-a)

Pada dasarnya metode ini sama dengan metode Newton-Raphson, perbedaannya hanya terletak pada pendekatan untuk turunan pertama dari f saja.

Pendekatan f' pada metode Secant didekati dengan ungkapan beda hingga yangdidasarkan pada taksiran akar sebelumnya (beda mundur), yaitu metode Secant tidak memerlukan dua taksiran awal yang harus mengurung akar persamaan Dalam beberapa kasus swapping dua taksiran awal x1 dan x2 dapat mengubah perilaku metode tersebut dari konvergen menjadi divergen (Panjaitan, 2017). Algoritma metode secant yaitu:

Definisikan fungsi f(x)

Definisikan toleransi eror (εs)

Taksir batas atas xi dan batas bawah xi-1.

Tentukan f(xi) dan f(xi-1). Jika f(xi) = f(xi-1) maka iterasi tidak dilanjutkan, tetapi jika  f(xi) = f(xi-1) maka iterasi dilanjutkan.

Lakukan iterasi dengan menghitung nilai taksiran akar selanjutnya dengan:

  

Iterasi berhenti jika εrh ≤ εs, dengan:

  

Pengaplikasian Metode Secant untuk Mencari Akar Ganda.

Akar-akar ganda sulit dicari dengan metode-metode numerik yang ada. Akar suatu persamaan, tidak selamanya tunggal. Persamaan-persamaan matematika sering memiliki akar ganda. Pencari akar tunggal dengan beberapa metode numerik seperti metode bisection, metode Newton-Raphson, metode Secant, metode regulaflasi, tidak mengalami kesulitan. Ada kelemahan dan kelebihan dari masing-masing metode dalam hal kecepatan konvergensi. Namun demikian tidak semua persamaanpersamaan matematika memiliki akar tunggal. Sering dijumpai persamaan-persamaan yang memiliki akar ganda, baik akar ganda genap maupun akar ganda yang jumlahnya ganjil (Patrisius Batarius, 2019). Persamaan-persamaan matematika dalam bidang teknik juga sering dijumpai persamaan yang memiliki akar ganda. Metode numerik yang disebutkan diatas, sulit menemukan akar dari persamaan-persamaan yang memiliki akar ganda. Jika digunakan kesulitan mencapai konvergensi dan malah tidak mendapatkan solusinya. Sehingga salah satu cara dengan melakukan proses modifikasi metode Newton-Raphson dan metode Secant. Hasil modifikasi kedua metode ini bisa mencari akar ganda dari persamaan-persamaan matematika yang memiliki akar ganda yang jumlahnya genap atau ganjil (Patrisius Batarius, 2019). 

Metode terbuka seperti metode bisection dan metode regulafalsi akan divergen jika mencari akar ganda. Sementara pada metode terbuka seperti metode Newton-Raphson dan metode Secant harus mencari turunan dari persamaan yang akan dicari. Hal ini ada kemungkinan akan terjadi pembagian dengan nol jika solusi konvergen sangat mendekati akar. Metode Secant yang dimodifikasi untuk menentukan akar-akar ganda sulit dicari dengan metode-metode numerik yang ada (Patrisius Batarius, 2019). Metode terbuka seperti metode bisection dan metode regulafalsi akan divergen jika mencari akar ganda. Sementara pada metode terbuka seperti metode Newton-Raphson dan metode Secant harus mencari turunan dari persamaan yang akan diacari. Hal ini ada kemungkinan akan terjadi pembagian dengan nol jika solusi konvergen sangat mendekati akar (Patrisius Batarius, 2019).  Cara untuk menanggulangi masalah ini adalah dengan kenyataan bahwa f(x) senantiasa mencapai o sebelum f’(x) mencapai nol. Ralston dan Rabinowitz (1978) telah menunjukkan bahwa perubahan sedikit dalam perumusan mengembalikannya ke kekonvergenan kuadrat ditulis dalam persamaan:

x_(i+1)=x_i-m f(x_i )/f'(x_i ) …….… (2)

Dengan m adalah bilangan multiplisitas akar, misalnya : 

Akar tunggal m=1 

Akar ganda dua m=2 

Akar ganda tiga m=3, dan seterusnya (Chapra S. C., 2008).

Alternatif lain yang juga disarankan oleh Ralston dan Rabinowitz (1978) adalah mendefinisikan suatu fungsi baru u(x), yaitu rasio (hasil bagi) fungsi terhadap turunannya (Chapra S. C., 2008). Persamaannya ditulis:

u(x)=f(x_i )/f'(x_i ) …….… (3)

Persamaan (3) mempunyai akar pada lokasi yang sama seperti fungsi semula. Metode Secant yang dimodifikasi bisa digunakan untuk mencari akar ganda. Pengembangan metode Secant modifikasi diperoleh dari memasukan persamaan (3) ke persmaan (1).  Dengan demikian persamaan Secant yang dimodifikasi untuk mencari akar ganda ditulis :

x_(i+1)=x_i-u(x_i )(x_(i+1)-x_i )/(u(x_(i+1) )- u(x_i ) )…….… (4)

Perbedaan Metode Secant dengan Regula Falsi.

Metode secant merupakan metode iterasi yang mengatasi kelemahan metode Newton Raphson dengan mengaproksimasi f'(x_i ) dengan garis secant. Metode ini memerlukan dua tebakan awal yaitu x_(-1) dan x_0. [1] Pada metode ini proses mencari nilai turunan membutuhkan waktu. Selain itu, tidak semua persamaan mudah untuk mencari turunannya. Untuk mengatasi kesulitan ini, mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi, dengan menggunakan gradient garis yang melalui titik (x_0,f(x_0)) dan (x_1, f(x_1)).

Formulasi metode Secant yaitu

x_(i+1)=x_i-f(x_i )(x_(i-1)-x_i )/(f(x_(i-1) )-f(x_i ) )

 

Gambar 2 : Metode Secant

Pada Gambar 1 taksiran akar diramalkan oleh ekstrapolasi sebuah garis singgung dari fungsi terhadap sumbu. Metode secant lebih menggunakan diferensi daripada turunan untuk memakai kemiringan (slope).

Langkah-langkah untuk menggunakan metode secant sebagai berikut: 

Mencari nilai akar r dari persamaan f(x)

Tentukan 2 taksiran awal 

Lakukan iterasi dengan formula:

x_(i+1)=x_i-f(x_i )(x_(i-1)-x_i )/(f(x_(i-1) )-f(x_i ) )

Iterasi akan berhenti ketika |ε_a |<ε_s

Metode Secant ini hanya memiliki sebuah formulasi saja untuk mencari nilai Variabel X berikutnya, yaitu:

X_(n+1)=X_n-((f(X_n )*(X_n-X_(n-1) ))/(f(X_n )-f(X_(n-1) )))

Formulasi di metode Secant lebih kompleks, hanya saja memiliki sebuah formulasi. Pada metode ini terdapat 2 buah variable X awal untuk proses mencari akar persamaannya. Faktor yang menentukan langkah proses perhitungan dilanjutkan atau tidak adalah dengan dibandingkannya nilai variable Absolute Fungsi X|f(X_n )| dengan nilai Toleransi Error pada langkah tersebut. Jika nilai variable Absolute Fungsi X|f(X_n )| masih lebih besar dari nilai Toleransi Error maka proses pencarian akar persamaan terus dilanjutkan, jika tidak maka proses dihentikan dan nilai akar persamaan yang dicari adalah suatu nilai yang berada pada variable X_n. Kelebihan metode Secant adalah nilai interval awal yang dimasukan selalu dapat diproses atau tidak diperlukan pengecekan nilai interval di awal operasi.

Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari 2 (dua) titik batas range, seperti diilustrasikan pada Gambar 3.

 

Gambar 3 : Ilustrasi penyelesaian akar persamaan dengan metode regula falsi

Metode regula falsi atau metode posisi palsu merupakan salah satu solusi pencarian akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan non linier melaui proses iterasi (pengulangan). Metode merupakan modifikassi dari metode biseksi, yang kinerjanya lebih cepat dalam mencapi akar hampiran. Metode Regula Falsi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan prinsip utama sebagai berikut:

Menggunakan garis scan (garis lurus yang menghubungkan dua koordinat nilai awal terhadap kurva) untuk mendekati akar persamaan non linear (titik potong kurva f(x) dengan sumbu x). 

Taksiran nilai akar selanjutnya merupakan titik potong garis scan dengan sumbu x.

Pada Metode regula false, dua titik yaitu a dan b dalam suatu fungsi persamaan misalnya fungsi (𝑥) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier. Metode ini selalu berhasil menemukan akas (solusi) yang dicari. Dengan kata lain, metode ini selalu konvergen → step c. Kecepatan atau laju konvergensi dari metode regula false sama dengan metode bisection, yaitu konvergensi linier, namun dengan faktor pengali (konstanta) yang lebih besar dari 1 2 (faktor pengali berkisar antara 1/ 2 … 1). Oleh karena itu, proses running program lebih lambat untuk mencapai konvergensi.

Algoritma penyelesaian menggunakan metode regula false dibagi menjadi 3 bagian utama: Menentukan dua nilai x awal, yaitu a dan b, dimana a<b, serta f(a) dan f(b), dimana f(a)×f(b)<0. Menentukan nilai c, yaitu ({a xf(b)}  - {bxf(a)})/(f(b)  -f(a)), dan nila f(c); Melakukan iterasi dengan parameter jika f(a)×f(c)<0 maka c=b, tetapi sebaliknya jika f(a) x f (b)>0 maka c=a, dan seterusnya hingga nilai (b-a)<e yang ditentukan pengguna.

Secara umum, rumus untuk Metode Regula False ini adalah sebagai berikut:

x_(n+1)=x_n-f(x_n )[x_n-x_(n-1) ]/(f(x_n )=f(x_(n-1) ) )

Metode regula-falsi tidak dapat menemukan akar ganda berjumlah genap dan akar kompleks, namun selalu berhasil menemukan akar dalam selang yang mengurung akar (iterasinya selalu konvergen). Sedangkan metode secant dapat digunakan untuk menemukan akar tunggal, akar ganda, dan akar kompleks, namun iterasinya tidak selalu berhasil menemukan akar (divergen). Metode regula-falsi dan secant sebaiknya diterapkan pada persamaan polinomial, eksponensial, trigonometri, dan campuran dari ketiganya yang berlaku secara umum.

Fenomena Akar Ganda.

Akar ganda (multiple roots) terjadi bila kurva fungsi menyinggung sumbu-x, misalnya:

f(x)= x^3-5x^2+7x-3=(x-3)(x-1)(x-1) memiliki akar ganda dua di x=1 

f(x)= x^4-6x^3+12x^2-10x+3=(x-3)(x-1)(x-1) memiliki akar ganda tiga di x=1.

Suatu akar tidak selamanya tunggal, Persamaan-persamaan matematika sering memiliki akar ganda. Pencari akar tunggal dengan beberapa metode numerik seperti metode bisection, metode Newton-Raphson, metode Secant, metode regulaflasi, tidak mengalami kesulitan. Ada kelemahan dan kelebihan dari masing-masing metode dalam hal kecepatan konvergensi. Namun demikian tidak semua persamaan-persamaan matematika memiliki akar tunggal. Sering dijumpai persamaan-persamaan yang memiliki akar ganda, baik akar ganda genap maupun akar ganda yang jumlahnya ganjil. Persamaan-persamaan matematika dalam bidang teknik juga sering dijumpai persamaan yang memiliki akar ganda. Metode numerik yang disebutkan diatas, sulit menemukan akar dari persamaan-persamaan yang memiliki akar ganda. Jika digunakan kesulitan mencapai konvergensi dan malah tidak mendapatkan solusinya.  Sehingga salah satu cara dengan melakukan proses modifikasi metode Newton-Raphson dan metode Secant(S.C.Chapra, 2012).  Hasil modifikasi kedua metode ini bisa mencari akar ganda dari persamaan-persamaan matematika yang memiliki akar ganda yang jumlahnya genap atau ganjil. 

Proses penentuan akar, baik akar tunggal maupun akar ganda sangat dipengaruhi oleh pemilihan nilai tebakan awal.  Apakah tebakan awal yang dipilih akan mempercepat konvergensi bagi pencarian akar tunggal atau akar ganda?  Apakah pemilihan nilai tebakan awal yang dipilih dekat dengan akar tunggal menghasilkan akar tunggal atau malah menghasilkan akar ganda dalam proses pencarian akarnya. Apakah ada pengaruh pemilihan nilai tebakan awal yang ditentukan secara acak baik xi-1 maupun xi terhadap akar ganda yang diperoleh pada metode bagidua dan metode tertutup lainnya tidak dapat digunakan untuk mencari akar ganda, sebab fungsi tidak berubah tanda di sekeliling akar. Metode terbuka, seperti metode Newton-Raphson, sebenarnya dapat diterapkan di sini. Tetapi, bila digunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar ganda, kecepatan konvergensinya berjalan secara lanjar, tidak lagi kuadratis sebagaimana aslinya. Agar konvergensi metode Newton-Raphson tetap kuadratik untuk akar ganda, maka Ralston dan Rabinowitz mengusulkan alternatif metode Newton-Raphson sebagai berikut:

x_(r+1)= x_r-m (f(x_r))/(f^' (x_r))

Dengan m adalah bilangan multiplisitas akar, misalnya:

Akar tunggal, m = 1,

Akar ganda dua, m = 2, 

Akar ganda tiga, m = 3, dan seterusnya. 

Namun alternatif ini tidak memuaskan karena kita perlu tahu terlebih dahulu bilangan multiplisitas akar. Disamping itu, untuk x dekat akar ganda, nilai f(x) » 0 dan juga nilai f '(x) » 0, yang dapat mengakibatkan pembagian dengan nol. Pembagian dengan nol ini dapat dihindari dengan melihat fakta bahwa f(x) lebih dulu nol sebelum f '(x). Jadi,

if f(x) » 0 then hentikan lelaran 

Ralston dan Rabinowitz mengusulkan alternatif lain. Didefinisikan dengan

u(x)=f(x)/(f'(x))     (p.1)

Perhatikan, bentuk u (x) ini memiliki akar yang sama dengan f(x), sebab jika u (x)=0 ,maka f(x)=0. 

Selanjutnya, 

x_(r+1)= x_r-u(x_r )/(u'(x_r))  (p.2)

Yang dalam hal ini, 

u^' (x)=[f(x)/(f^' (x) )]^'=f^' (x) f^' (x)-(f^'' (x)f(x))/[f^' (x)]^' =[f^' (x)]^2-(f^'' (x)f(x))/〖[f^' (x)]〗^2   (p.3)

 Sehingga

x_(r+1)= x_r-(f(x)/f'(x_r))/(([f^' (x_r )]-f^'' (x_r )f(x_r))/([f'(x_r)]^2 ))  (p.4)

Atau,

x_(r+1)= x_r-  (f(x_r )f'(x_r))/(〖[f^' (x_r )]〗^2-f^'' (x_r )f(x_r))  (p.5)

Meskipun rumus (p.5) ini lebih disukai untuk akar ganda, namun ia kurang mangkus sebab memerlukan lebih banyak komputasi dari pada metode Newton-Raphson yang baku. Rumus (p.5) berlaku secara umum, yaitu ia tetap dapat dipakai untuk pencarian akar tidak ganda sekalipun. 

Metode secant juga dapat dimodifikasi dengan menyulihkan u(x)=f(x)/(f'(x)) ke dalam rumusnya. Rumus yang dihasilkan:

x_(r+1)= x_r-u(x_r )(x_(r-1)-x_r )/(u(x_(r-1) )-u(x_r))  (p. 6)

Suatu persamaan yang memiliki akar-akar ganda sulit dicari dengan metode-metode numerik yang ada seperti metode Bisection, metode regulafalsi, metode Newton-Raphson dan metode Secant.  Metode Secant yang dimodifikasi sangat mudah untuk mencari akar ganda suatu persamaan nonlinear, baik akar ganda genap maupun akar ganda ganjil. Jumlah iterasi yang dibutuhkan sangat sedikit untuk mencapai konvergensi (M Imran, S Syamsudhuha Putra, 2016)

Dari uraian pembahasan diatas, persamaan-persamaan di bidang teknik, bidang matematika dan bidang-bidang lainnya yang memiliki akar ganda sangat disarankan untuk menggunakan metode Secant yang dimodifikasi untuk menyelesaikannya. Nilai awal yang dipilih dalam penentuan akar ganda bisa dipilih beberapa alternatif: 

Kedua nilai  awal  x_(i-1) dan  x_i  dipilih  dekat dengan akar ganda. 

Kedua nilai  awal  x_(i-1) dan  x_i  dipilih  dekat dengan akar tunggal. 

Kedua nilai awal   x_(i-1)  dekat dengan  akar ganda dan akar dan  x_i  dekat dengan akar tunggal.

Dipertimbangkan  untuk  tikda  mengambil nilai  awal  x_(i-1)  dan   x_i  yang sangat  dekat dengan akar tunggal. 

Kedua nilai  awal  x_(i-1) dan  x_i  bisa  diambil secara  acak yang jauh dari akar  ganda dan akar tunggal. 

Kelebihan dan Kekurangan Metode Secant.

Kelebihan dari metode secant yaitu:

Dapat digunakan untuk menemukan akar tunggal, akar ganda, dan akar kompleks.

Dapat menemukan akar ganda berjumlah genap. 

Laju dalam keadaan kovergennya sedang sampai cepat.

Metoda ini baik digunakan apabila kita mempunyai pengetahuan dan kecakapan dalam fungsi, akan tetapi tidak begitu paham dengan fungsi derivatif.

Menjadi alternatif yang tepat jika sulit memperoleh turunan fungsi melalui metode newton raphson.

Metode Secant juga efisien dalam menganalisis konvergensi suatu  persamaan (Magrean, 2015).

Dari sisi konvergensi tingkat konversgensi metode Secant lebih efektif (Hussein, 2015).

Metode Secant paling efektif dalam menyelesaikan persamaan f(x)=0 pada range [0,1].

Metode Secant yang dimodifikasi sangat mudah untuk mencari akar ganda suatu persamaan non linear, baik akar ganda genap maupun akar ganda ganjil. Jumlah iterasi yang dibutuhkan sangat sedikit untuk mencapai konvergensi.

Kekurangan dari metode secant yaitu:

Jika penetapan harga awal berada diantara dua titik akar yang berdekatan, maka pendekatan dengan metode secant hanya akan memberikan sedikit kemungkinan harga akar persamaan pada interval yang ditentukan. 

Pada saat tertentu extrapolasi dari 2 titik pendekatan awal untuk harga akar persamaan yang sudah sangat dekat dengan harga sebenarnya yang dicari justru akan menghasilkan titik baru yang semakin menjauhi akar persamaan yang sebenarnya 

Iiterasinya tidak selalu berhasil menemukan akar (divergen).

Tidak berhasil menemukan akar dalam selang yang mengurung akar.

Tidak selalu stabil ketika dalam keadaan konvergen.

 

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear, dengan prinsip melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh dua titik terakhir. Nilai akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x. Secara umum rumus metode Secant ditulis:

x_(i+1)=x_i-(f(x_i )*(x_(i+1)-x_i ))/(f(x_(i+1) )- f(x_i ) )

Prosedur metode secant : Tentukan dua titik awal, x_(i+1) dan x_1. Penentuan titik awal dilakukan sembarang. Setelah itu hitung menggunakan rumus persamaan (1) diatas. Pada iterasi selanjutnya titik yang diambil adalah  x_1 dan x_2 sebagai titik awal untuk menghitung x_3. Kemudian x_2 dan x_3 ditentukan sebagai titik  awal untuk menghitung x_4. Dilakukan terus menerus sampai mencapai error yang cukup kecil. Metode Secant yang dimodifikasi untuk mencari akar ganda ditulis :

x_(i+1)=x_i-u(x_i )(x_(i+1)-x_i )/(u(x_(i+1) )- u(x_i ) )

Metode regulafalsi atau metode posisi palsu merupakan salah satu solusi pencarian akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan non linier melaui proses iterasi (pengulangan). Metode Regula Falsi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan prinsip utama sebagai berikut:

Menggunakan garis scan (garis lurus yang menghubungkan dua koordinat nilai awal terhadap kurva) untuk mendekati akar persamaan non linear (titik potong kurva f(x) dengan sumbu x). 

Taksiran nilai akar selanjutnya merupakan titik potong garis scan dengan sumbu x.

Metode regula-falsi tidak dapat menemukan akar ganda berjumlah genap dan akar kompleks, namun selalu berhasil menemukan akar dalam selang yang mengurung akar (iterasinya selalu konvergen), sedangkan metode secant dapat digunakan untuk menemukan akar tunggal, akar ganda, dan akar kompleks, namun iterasinya tidak selalu berhasil menemukan akar (divergen).

 

DAFTAR PUSTAKA

Adyatama, R. 2021. Algoritma Hybrid Bisection dan Regula Falsi pada Pencarian Akar Persamaan Nonlinear (Doctoral dissertation, Universitas Brawijaya)

Ambarawati, M. ANALISIS KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MAHASISWA PENDIDIKAN MATEMATIKA PADA MATERI REGULA FALSI. In PROSIDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA 2016 (p. 53).

Batarius, P. (2018). Perbandingan Metode Newton-Raphson Modifikasi dan Metode Secant Modifikasi Dalam Penentuan Akar Persamaan. In Prosiding, Seminar nasional Riset Dan Teknologi Terapan (Vol. 8).

Chapra, S. (2012). Applied numerical methods with MATLAB for engineers and scientists / Steven C. Chapra. Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, 3rd, 161-163.

Chapra, S. C. (2008). Numerical Methods for Engineers. 6th.

Hussein, K. A. (2015). Parallel Hybrid Algorithm of Bisection and Newton-RaphsoMethods to Find Non-Linear Equations Roots. IOSR Journal of Mathematics (IOSR-JM, 11(4).

M Imran, S Syamsudhuha Putra. (2016). A NEW FAMILY OF SECANT-LIKE METHOD WITH SUPER-LINEAR CONVERGENCE,. International Journal of Pure and Applied Mathematics, Volume 110 no. 1 2016, 1-7 ISSN : 1311-8080.

Magrean, A. A. (2015). EXPANDING THE APPLICABILITY OF SECANT METHOD WITH APPLICATIONS. Korean Math, No. 3, 865–880.

Sunandar, E. 2019. Penyelesaian Sistem Persamaan Non-Linier Dengan Metode Bisection & Metode Regula Falsi Menggunakan Bahasa Program Java. Petir, 12(2), 179-186.

Sunandar, E., & Indrianto, I. (2020). Perbandingan Metode Newton-Raphson & Metode Secant Untuk Mencari Akar Persamaan Dalam Sistem Persamaan Non-Linier. Petir, 13(1), 72-79.

Wahyudianto, E. PERBANDINGAN METODE REGULA-FALSI DAN SECANT DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN NON-LINEAR.

Panjaitan, M. (2017). MENGGUNAKAN PEMPROGRMAN MATLAB ( Studi Kasus : Metode Secant ). 1, 89–94.

Patrisius Batarius, A. A. (2019). NILAI AWAL PADA METODE SECANT YANG DIMODIFIKASI DALAM PENENTUAN AKAR GANDA PERSAMAAN NON LINEAR. Jurnal Ilmiyah Matrik, 21, 22-31

Wahyudianto, E. PERBANDINGAN METODE REGULA-FALSI DAN SECANT DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN NON-LINEAR.

Wigati, J. (2017). Solusi Numerik Persamaan Non-Linier Dengan Metode Bisection dan Regula Falsi. Jurnal Teknologi Terapan: G-Tech, 1(1), 5-17.

Wigati, J. 2017. Solusi Numerik Persamaan Non-Linier Dengan Metode Bisection dan Regula Falsi. Jurnal Teknologi Terapan: G-Tech, 1(1), 5-17.

Wulan, E. R., Sukarti, S. M., & Zulkarnaen, D. (2017). Perbandingan Tingkat Kecepatan Konvergensi dari Metode Newton Raphson dan Metode Secant Setelah Mengaplikasikan Metode Aiken’s dalam Perhitungan Akar Pangkat Tiga. Jurnal Matematika Integratif ISSN, 1412, 6184.