METODE TERBUKA: ITERASI SATU TITIK SEDERHANA, NEWTON RAPHSON

 

Metode terbuka adalah metode yang tidak memerlukan batas bawah dan batas atas pada perkiraan nilai awal.. Metode yang akan dibahas pada makalah ini adalah metode terbuka yaitu iterasi satu titik sederhana dan metode Newton Raphson.

       Metode iterasi titik tetap disebut juga metode iterasi sederhana, metode langsung, atau metode substitusi beruntun. Metode iterasi titik tetap adalah metode yg memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh: x = g(x). Transformasi ini dapat dikerjakan dengan manipulasi aljabar atau dengan penambahan sederhana x ke kedua ruas pada persamaan asalnya.

Program Sumber untuk Metode Iterasi

Program berikut menggunakan algoritma metode Iterasi untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Program akan dicoba untuk menyelesaikan persamaan:

           atau dalam bentuk      

Dari bentuk ini diambil fungsi

Formula Newton-Raphson dapat dikembangan dari perluasa Deret Taylor. Penurunan alternatif ini berguna untuk memberikan pengertian terhadap laju konvergensi dari metode itu. Deret Taylor dapat dinyatakan sebagai :

di mana  terletak disembarang tempat dalam interval  hingga Sebuha versi aproksimasi diperoleh dengan memotong deret setelah suku turunan pertama:

Pada perpotongan dengan sumbu x,  akan sama dengan nol, atau

dapat diselesaikan untuk:

yang serupa dengan persamaan Metode Newton-Raphson (no. persamaan). Jadi, kita telah menurunkan formula Newton-Raphson dengan menggunakan sebuah Deret Taylor.

Kriteria Berhenti Iterasi

Metode pada newton raphson sendiri memiliki kriteria yaitu dimana newton raphson bisa diiterasikan. Misalkan  dianggap R adalah fungsi terturunkan yang terdefinisi pada selang , dengan nilai merupakan bilangan riil R. (Dyer, 2002)

Dalam menentukan kriteria berhenti dari Newton Raphson sendiri ditentukan dari kriteria satu titik. Yaitu dimana x  menggunakan metode iterasi dan menjadi . Sehingga persamaan iterasi pada Newton Raphson adalah . (Munir, 2010)

Sehingga keperluan Newton Raphson dalam iterasi adalah :

Ketika mendapatkan hasil dengan kriteria yang sesuai dengan persamaan akar divergen atau konvergen, maka dapat ditetapkan nilai toleransi untuk menentukan banyak iterasi. Ketika menentukan nilai toleransi, iterasi Newton Raphson berhenti bila , dengan  adalah tetapan ( toleransi ) yang telah ditentukan.

Jebakan pada Metode Newton-Raphson

       Walaupun metode Newton-Raphson biasanya sangat efisien, terdapat situasi dimana ia berjalan dengan buruk. Bilamana menangani akar-akar yang sederhana, kadangkala timbul kesukaran. Selain dari kekonvergenan yang lambat karena sifat alami dari fungsi tersebut, kesukaran lain dapat timbul. Misalnya terjadi kasus dimana suatu titik balik (inflection point) yang terjadi di suatu akar.

Referensi :

Dwi, B. (2011). Metode Numeric. Surabaya: Univertsitas Brawijaya.

Rochmad. (2012). Bahan Ajar mata kuliah Metode Numerik. Semarang: Universitas Negeri Semarang.